Fractales

Si te asomas a la ventana seguro que ves un fractal: las nubes, los árboles, las montañas son ejemplos clásicos de este tipo de objetos. También están dentro de nuestro cuerpo: la porosidad de los huesos, los sistemas circulatorio y respiratorio, las neuronas…

Para que un objeto se denomine fractal debe tener al menos dos características: autosimilitud y dimensión fractal.

La autosimilitud se refiere como “la parte es igual al todo”, lo cual no siempre es posible en los objetos reales en toda la magnitud de la frase pero si en los rasgos generales. Así podemos entender que las ramas del árbol se parecen al árbol completo.

En la figura de abajo se tiene el triángulo de Sierpinski y se nota como se puede hacer zoom infinidad de veces y seguir viendo lo mismo.

Triángulo de Sierpinski

La dimensión fractal indica la complejidad de un objeto respecto a las dimensiones comunes: si el punto tiene dimensión cero, la línea dimensíon 1, el plano dimensión 2 y el cubo dimensión 3, ¿que dimensión se asigna a algo que no es totalmente plano ni totalmente un volumen? La dimensión de un arbol estará entre 2 y 3.
La dimensión fractal del triángulo de Sierpinski es de 1.5850.

La palabrar fractal proviene del latín fractus. Ésta disciplina fué bautizada y formalizada por Benoit Mandelbrot en los setentas.

Conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot es el objeto matemático mas complejo.

Agregamos aquí distintas vistas del mismo:

Te recomiendo leer:

Lo que esconden los fractales

 

Cerramos con un video

Actualizado 12 de octubre de 2012

Topología

Dona toro

Algunos definen a un topólogo como aquel que no distingue entre una dona y una taza. Otros dicen que la topología es la ciencia de los objetos de goma.

En realidad ambas son caricaturas acerca de la materia. En la imágen de arriba se puede ver cómo, mediante transformaciones continuas, se puede cambiar de una taza a una dona y viceversa. Es un ejemplo de lo que estudia esta disciplina matemática.

La palabra geometría significa literalmente “medir la tierra”, la topología hace otra cosa: busca relaciones y no medidas.

En el ejemplo de la dona y la taza encotramos que ambas  son objetos de género 1, lo que significa que se necesita de más de un corte para separar en dos al objeto. Otros dirían que son de género 1 porque tienen un agujero.  En ese sentido la taza y la dona son los mismo para un topólogo.

Al usar transformaciones continuas sin hacer cortes, cambias la forma de la figura pero no su género, por eso es como si estuvieras trabajando con objetos de goma, que se pueden estirar y deformar, pero no romper.

¿Que objeto cotidiano es de género 2?